第三辑 数学

    为什么国家强盛必然数学先进

    从历史上看，在一个国家经济发展、国力强盛之时，数学水平必然会随之上升，这个国家就成为数学强国。17世纪英国进行产业革命，牛顿也在数学和力学上做出了革命性的贡献。资本主义大生产使法国的拿破仑政权十分强大，当时的数学中心便移到法国去了。19世纪下半叶，德国后来居上，生产水平超过法国，数学界也出现了像高斯这样的大数学家，数学实力渐渐在法国之上。20世纪初，美国工业经济发展异常迅速，数学在1930年开始雄踞世界首位，普林斯顿高等研究院成了世界数学中心。另一方面，前苏联在20世纪中叶成为超级大国，莫斯科大学的数学水平可以和普林斯顿相媲美。冷战时期，世界数学的格局是前苏联和美国领先，西欧紧随其后，日本则迎头赶上。

    数学是科学发展的基础。经济发达了，科学技术进步了，就会提出许多重大的数学问题，鼓励数学家进行创造。强大的国防力量，也需要数学工作加以支持。人们常说，在信息时代，许多高科技说到底乃是一种数学技术。

    中国是有优秀数学传统的国家，随着中国国力的增强，中国的数学水平也在迅速提高。我国的数学家为原子弹、氢弹、人造卫星的研制做出了重要贡献。与此同时，中国的纯粹数学研究也在大步前进。陈景润的“哥德巴赫猜想研究”以及其它一些分支的研究成果，已经达到世界领先水平。在国际数学家联合会里，中国(含台湾)是有5票投票权的数学强国之一。但就整体实力而言，中国的数学研究实力还达不到世界一流水平。所以，中国数学家有一个雄心壮志：使中国成为21世纪的数学大国。要实现这一目标，还需要几代人共同努力。希望寄托在未来的年轻一代身上。

    知识点：数学、基础、实力

    为什么要学好数学

    从我们上小学一年级开始，直到高中三年级，这十二年的时间中，年年都要学习数学。在中小学课程中，数学、语文、外语并称三大主干课，世界各国都是如此。这主要有三方面的原因：

    数学和语文、外语一样，也是一种语言，它是科学的语言。它使用数字、符号、公式、图像、概念、定理等位置关系，对于人类认识世界、探索未来起了很重要的作用。不懂数学，就不能理解科学。

    数学对于培养、训练人的理性思维十分有益。如果说语文能用来表示人的感情、愿望、意志、进行形象思维的话，那么数学主要用来进行概括、抽象、推理和论证等理性思维。数学严格精确、从不含糊，对于培养人的思维能力是必不可少的。

    数学用途广泛。小至上街买东西，大到设计飞机、火箭，控制卫星运行，全离不开数学。而且一个国家数学水平的高低，反映了国家是否强盛。它是科学发展的基础，它的发展进步，推动了科学技术的向前发展。

    有的同学并不喜欢学习数学，常常是为了应付考试才去努力学习。其实中小学课本中讲授的数学知识都是数学的基础内容，是今后生活、工作、学习中心不可少的，如加减乘除，要反复计算，做起来很枯燥，但实际上哪里都能用上，买东西算账、丈量土地、做设计，哪一样又能离开数学呢？

    数学是研究数与形的科学，凡是有“数量大小”和“形状位置”的事物都离不开数学知识。因为数学具有抽象性的特点，所以看上去干巴巴，很枯燥，但它往往会出人意料地不知在什么地方派上用场，让你大吃一惊。

    知识点：数学、语言、理性思维、用途

    为什么说0的意义不是没有

    上学以后我们最先学习的是算术课，便认识了0这一数字，它可能是你所学过的最小的数字了。那么0是什么含义呢?若用手指数铅笔盒内铅笔的数目，1代表一支铅笔，则0便表示无铅笔，0的意思便是没有，若你学过减法，而10减10等于0，意思是说减没了，好像10个苹果让人吃掉了，最后一个不剩。看来0确实表示没有。

    平常0是表示没有，可是它的意义不只表示没有，有时有其他的意义。

    在人们日常生活当中，天气的冷热程度用气温来表示，它随着一年四季的交替而不断变化。像0摄氏度表示什么含义呢?它表示冰和水混合在一起的那个温度，自0摄氏度以上为零上，零上17到22摄氏度即最适于人类生活的温度；自0摄氏度向下则称为零下，零下温度，绝对值越大，则越寒冷。

    再像在计算机内使用的0与1就不是算术上的0与1了，它分别代表电平的高低状态，1表示高电平，0表示低电平，这时0绝对并不是没有，却是一种相对较低的概念。

    还有许多例子都能说明0在生活中有许多含义，不只表示算术内的没有。实际0本身一样充满了矛盾。像任意多个数与0相加，0并不可以改变它们和的值；但许多个数相乘时，只要其中有一个数若是0，它的乘积就是0，看0的威力有多么大啊。要解决这样的矛盾问题，我们一定要知道数学上的概念都是相对的，绝不是不变化的，0也是这样。

    0在数学上是一个十分重要的数字，0至1的飞跃便体现了自无到有的过程，而1至百、千、万的变化也体现了很多的不同。0不只表示“没有”，而为“有”奠定了基础。但在生活中0较多地表示一种状态，为0以下与0以上的状态提供了可参照的标准，它的含义并不是“没有”能说得清楚的。

    知识点：没有、意义、含义、状态

    为什么1+1可以等于1

    我们初学算术时，就已知道1+1=2了，这是确定无疑的。假如有人做加法而1+1的答数不是2，那就要得0分。但是，当我们学到了二进位制的计数法后，就知道在二进位制里1+1：10而不是1+1＝2了。由于在二进位制里，根本就没有2这个数字。

    现在这里又写了这样一个等式1+1＝1。到底是什么道理呢?这叫做逻辑代数中的加法。

    在逻辑代数里，也与二进制数一样，我们只有两个符号：1和0。但是二进位制数里的1，确实表示一样东西1，1是真正的数。0则表示没有，它也是真正的数字。而且在逻辑代数里，1和0并不是数字而是符号。在一般的逻辑电路中，1表示电路是通的，0表示电路是断的。

    例如有一个电路：在这个电路里，E是电源，例如是几只干电池。P是一只小的灯泡。电路里通了电以后，小灯泡P就发光，这个时候的符号是1。电路里断了电以后，小灯泡P就不发光，这个时候符号是0。

    A和B就是两个开关。按上了就通电，拉开了就断电。现在假如开关A按上，开关B拉上。那电路通过开关A接通了，灯泡P亮了，得1。

    假设开关A拉开，开关B按上。那电路通过开关B接通了以后灯泡P亮了，也得1。

    现在假如把开关A及开关B都按上，两条电路全接通了，那就应该是1+1了。但是灯泡P只可以发同样的亮光。所以也还是1。

    因此，用数学式子来表示，就得1+1=1。

    从这几个情况来看是完全正确的，开关A按上了是1，开关B按上了也是1，开关A和B一起按上了还是1，这究竟是为什么呢?

    这就叫逻辑代数的加法。

    在我国四个现代化过程中，逻辑代数这样的数学知识会慢慢变为人人都应该知道也能了解的常识了。从逻辑代数里，我们可以知道，0和1，并不只是代表数，而是代表一种情况。因为有许多有关数字计算习惯用的法则，在逻辑代数里就会发生一些新的概念。

    数学家可以很成功地把楼梯开关的种种情况，通过一个数学式，变成0及1，并且还组成有趣的逻辑关系。我们日常在使用着的楼梯开关竟与数学密切的联系起来了，你想到过吗?

    知识点：二进制、逻辑代数、加法

    为什么会有“+－×÷=”这些符号

    +、－、×、÷以及=这五个符号，小学生和学前幼儿也已懂得它们的意义以及用法，在高等数学里当然少不了它们。但是它们的来历确实经过了一段十分曲折的发展道路。

    古希腊与印度人不约而同，都把两个数字写在一起，表示加法，如3+1／4就写成了31／4。直到现在，从带分数的写法中还可能看到这种方法的遗迹。

    若要表示两数相减，就把这两个数字写得离开一些，如6-1/5的意思就是6-1/5。

    于是后来，有人用拉丁字母的P(Plus的第一个字母，意思是相加)代表相加；用M(Minus的第一个字母，意思是相减)代表相减。如5P3就表示5+3，7M5就表示7-5。到中世纪后期，欧洲商业开始变发达。许多商人常在装货的箱子上画一个“+”字，表示重量超过一些；画一个“-”字，表示重量还不足。文艺复兴时期，意大利的艺术大师达芬奇在他的一些作品中也采用过“+”和“-”的记号。公元1489年，德国人威德曼在他的著作中开始正式用这两个符号来表示加减运算。到了后来又经过法国数学家韦达的大力宣传以及提倡，这两个符号才普及，到了1630年，最终获得大家的公认。

    在我国，以“李善兰恒等式”闻名的数学家李善兰，也曾用“|”表示“+”；用“▲”表示“-”。因为当时社会上普遍使用筹算以及珠算来做加、减、乘、除，所以还没有创立专用的运算符号。

    后来人们开始采用了印度数码1、2、3、4、5、6、7、8、9、0(叫阿拉伯数码，但发明者却是印度人)，同时也采用了“+”和“-”的记号。至于×÷符号的使用，大约也不过300多年。传说英国人威廉·奥特来德于1631年在他的著作上用“×”表示乘法，于是后人就把它沿用到今天。

    中世纪时，阿拉伯数字十分发达，还出了一位大数学家阿尔花拉子密，他曾经用“3／4”表示3被4除。大多数人认为，现在通用的分数记号，来源就是出于这里。至于“÷”的使用，能追溯到1630年一位英国人约翰·比尔的著作。人们估计他大概是根据阿拉伯人的除号“-”与比的记号“=”合并转化而成的。

    在国内，人们也曾把单位乘法叫“因”，单位除法叫“归”，被乘数叫“实”，乘数叫“法”，乘的结果叫“积”。在除法中，尽管被除数与除数也叫“实”与“法”，但他们相除的结果，却叫“商”。

    现代许多国家的出版物中，都是用“+”、“-”来表示加与减，“×”、“÷”的使用则远没有“+”、“-”来得普遍。如，一些国家的课本中用“·”来代替“×”。在苏联或德国出版物中，很难看到“÷”，大多用比的记号“=”来代替。实际上，比的记号的用法可以说与“÷”号基本一样，可以不必再画出中间的一条线。所以，这个“÷”号，现在用得越来越少了。

    在这些符号当中，等号是相当重要的。巴比伦以及埃及曾用过各种记号来表示相等，但是最先得到公认的，是古代大数学家丢番图的记法esti和isas，简写为is。它们在中世纪，用来表示相等的记号有过特别大的混乱。第一个使用近代的“=”号的是雷科德的名著《智慧的磨刀石》，但“=”号直到18世纪才被普及，当时“=”号的两条线的长度经常被画得相当长。雷科德也曾说，他选择两条等长的平行线作为等号，原因是因为它们再相等不过了。

    知识点：来历、记号、公认、普及

    为什么要“先乘除，后加减”

    为了防止四则混合运算时相互发生混淆，使计算得到一个已经确定的结果。人们先后结合生活和实际生产的各个需要，在四则混合运算中明确规定：要“先乘除，后加减”。为什么科学家会如此规定呢?因为这样规定是有一定道理的。它的理由如下：

    1．这样规定运算顺序，更加符合生活实际需要。请看下面例子。

    例1：王大妈到布店买了3米红布，每米红布17．8元，又买了2米白布，每米白布20．50元，买这些布一共需要用多少元钱?

    列成算式：17．8×3+20．50×2

    按照实际买布情况。先算出买红布和白布各要付多少钱，然后算出一共要付多少钱。即应先算乘法，再算加法。

    例2：一车化肥10吨，分给ABC三个队，平均每队分3吨，还剩下几吨化肥?

    列成算式：10-3×3

    我们于是结合实际的那种情况，必须先算出一共分了多少吨化肥，于是得到“3×3”，然后用总数减去已分的吨数，就得出还剩下多少吨，即再算减法。

    人们在生活和实际生产中，也会遇到先加减后乘除的一些问题，但是这比先乘除后加减的问题少多了。

    2．在含有字母的式子中，我们会发现用乘、除号相互连接的算式，例如：x4、b÷5等可以被表示为4x、1/5b这些都可看做一项，而用加减号连接的式子，例如a-5、b+4等则分别表示两项。

    通常在计算时，我们会把一项看成一个数，这样看来可使计算变得简便。

    例如我们解方程式：4x-56＝66，可以把4x看做是一个被减数来解此方程。这种规定可以大大简化计算过程，提高计算效率，节约计算时间。

    3．从数学的发展形式上可以看到，加减法是最基本的运算，它们是数量变化的最低级的表现形式，先有加减法。乘除法是在加、减法经常运用的基础上产生和发展的。相同的数字连加产生乘法，相同的数字连减产生除法。

    由此可见，乘除法比加减法更高级，在计算效率上比加减法更为提高一个新高度，所以我们把加减法看做第一级运算，把乘除法看做是第二级运算就是这个意思。这种类似的例子在实际运用中举不胜举。这里不再一一列举。

    综上所述，运算顺序的规定是人们在生产和生活实际基础上，以及为了使计算更为简单化而产生的，所以这种规定是完全合理的。

    知识点：生产、生活、简单化、实际、提高

    为什么能从商品的条形码上

    读出商品的价格呢

    大超市里的各种商品上都贴着一组平行排列的、宽窄不一的黑白条纹，这就是条形码。付款的时候，商场里的收银员用一种特殊的设备在商品的条形码上一扫，商品的名称、价格等信息就读到计算机里去了，真是又简单又快速，太方便了。不知你想过没有条形码为什么能存储商品的价格信息呢？

    条形码是由黑色和白色的条纹组成的，但是这些条纹本身的长度和宽度并不一样，有的宽些，有的窄些，有的还要长一点。请你仔细观察几个不同商品的条形码，虽然它们表面上看起来很相似，但它们绝对是有差别的，我们肉眼也能看得出来。其实这些条纹的长短、粗细、颜色的变化代表了商品的信息。正如我们以前使用数字表示商品的名称（如C91代表铅笔）和价格（如铅笔的价格是0.50元）一样，那么同在由于计算机技术的发展，我们使用条形码来表示这一切，本质上是一样的，只是表示的方法不同了而已。

    条形码的出现计算机科学的发展密不可分，它是由于计算机的普及而产生的新型技术，也称为条码技术。条形码表示的信息只须能使用计算机设备来读取，收银员用来扫条形码的设备是光电阅读设备，也叫光笔。当光照到条形码上时，黑白条纹产生很大的对比，从而转化成不同强弱的电流，计算机根据电流和信号的不同查找保存在存储器里的数据，就得到了商品的信息。奇妙的是从左到右或从右到左扫描条形码都可以，读出的信息是一样的。条形码的出现，提高了工作的效率，也保证了信息传递时的准确无误。

    你再仔细看看一个条形码，会发现一组条码的下面还有一串字符，实际上这也是条形码的一个组成部分。加入这一串人可以识别的字符，目的是考虑到当识别条形码的设备出现问题时的特殊情况下，这些字符就有用处了。它也记录了商品的信息。

    条形码可以直接印刷到商品的包装上，而且现在它也不局限于黑色、白色了，但必须是两种对比反差很强烈的颜色才行。条码技术广泛应用于我们的生活中，几乎所有出版的图书都印有条形码，极大地方便了借阅、购书的需要。连汽车工业也有自己的条码系统呢！

    知识点：条形码、信息、差别、光笔、字符

    为什么地砖一般是正方形的或

    正六边形的

    地砖的花色品种很多，可是，它们一般不是正方形的就是正六边形的。这是什么缘故呢?

    在正多边形中，只有三种能用来铺满一个平面，而中间没有空隙，这就是正三角形、正方形和正六边形。因为正三角形的一个角等于60°，六个正三角形拼在一起时，在公共顶点上的六个角之和等于360°；正方形的一个角等于90°，所以四个正方形拼在一起时，在公共顶点上的四个角之和刚好等于360°；正六边形的一个角等于120°，三个正六边形拼在一起时，在公共顶点上的三个角之和刚好等于360°。

    如果用别的正多边形，就不能达到这一要求。例如正五边形的一只角等于108°，把三个正五边形拼在一起，在公共顶点上的三个角的和是108°3＝324°，小于360°，有空隙。而空隙处又放不下第四个正五边形，因为108°4＝432°，大于360°。

    六个正三角形拼在一起，虽然没有空隙，但是它不及正方形和正六边形好看。所以在艺术设计上，一般较多用正方形和正六边形的地砖。

    知识点：正方形、正三角形、正六边形、地砖

    为什么大奖赛评分时要去掉最高分和最低分

    校园卡拉0K大奖赛正在进行，一位同学唱完后，6个评委亮出了分数(10分为满分)，由小到大依次为：9．00、9．50、9．55、9．60、9．75、9．90。按评分规则，去掉最高分和最低分，将其余4个得分作平均，该同学的最后得分是9.90+9.55+9.60+9.75/4=9．60分。

    为什么要去掉最高分和最低分呢?这是为了剔除异常值。异常值就是过高或过低的评分，通常是由于裁判疏忽，或者欣赏兴趣特别，甚至在个别情形下有意褒贬所造成的。为了减少异常值对正确评分的影响，去掉最高分和最低分是合理的。

    这与数学上的中位数的概念有一定的联系。什么是中位数呢?我们还是来看上面的例子，依次排列的6个数字中，处在中间的第3个和第4个数字的平均数就是中位数，即9.55+9.60/2=9.575。

    如果评委的人数是奇数，譬如取前5个数字，则中位数是9．55，即第3个数字。处在中位数左边的数值，只要不大于中位数，任意改变其数值，并不会改变中位数的值。同样处在中位数右边的数值，只要不小于中位数，任意改变其数值，也不会改变中位数的值。由此可知，中位数的数值不受特大及特小极端值的影响，而平均数则会受到每个数值的影响，所以，中位数有时比平均数更能反映平均水平。例如，某个班级10个同学参加某项考试，有两人旷考算0分。10个人得分依次为：0、0、65、69、70、72、78、81、85、89。则其平均数是：

    0+0+65+69+70+72+78+81+85+89/10=60.9

    得65分的同学，其分数超过了平均数，按说属于中上水平了，其实不然。如果除去两名旷考的，他就是倒数第一名。这里，平均数没有真正反映平均水平。

    那么，干脆剔除这两个异常值，按8个人平均行不行呢?当然不行。这时只有取中位数比较合适。中位数是第5名和第6名分数的平均值，即：70+72/2=71。超过71分是中上水平，低于71分是中下水平。这里，中位数才是真正的“中等水平”的代表。

    当然，平均数也有优点，即考虑到了每个数字的作用。而去掉最高分和最低分的评分方法，正是吸收了平均数和中位数这两种方法的优点，既去除了异常值，又发挥了大多数评委的作用，是比较合理的方法。

    知识点：平均数、中位数、异常性、合理

    为什么在罗马数字中没有“0”

    世界上每一个国家的文字都是不相同的，可是它们却有一种相同的文字，不需要经过翻译，每个人都会看得懂，这就是阿拉伯数字。0、1、2……9等，这样写起来既简单方便，又容易看懂，所以各个国家先后都采用它来计数。“0”是一个奇特的阿拉伯数字，它是在1、2、3、4、5、6、7、8、9、0这10个数字中诞生得最晚的一个。世界上各国早期使用过的数学中都没有0这个字。那时，如果在记数的时候碰到了零，那就只有空上一位数字来表示。

    估计是在公元6世纪，“0”就已经从东方传到罗马了。但即使如此传播到，它仍在很长的一段时间之中也没有能够传入欧洲各个国家。因为那些国家中通常使用的是罗马数字Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ，而在原有的9个罗马数字中本来就不存在0。罗马教皇还自己认为用罗马数字来表示任何数字不但完全够用而且十全十美，他们甚至向外界宣布：“罗马数字是上帝发明的，从今以后不许人们再随意增加或减少一个数字。”0是被人们禁止使用的。

    有一次，有一位罗马学者在手册中看到有关于0的内容介绍，他认为0对记数是很有益处的，于是便不顾罗马教皇的禁令，在自己的著作中悄悄记载了一些关于0的用法，并把一些有关0的知识以及在运算中所起到的作用暗中进行传播。

    这件事被罗马教皇知道后，马上派人把他给囚禁了起来，并投入了监狱。教皇为此还大发脾气地说：“神圣的数，不可侵犯，是上帝创造出来的，决不允许0这个邪物加进来，弄污了神圣的数！”再后来这位学者就被施以酷刑，从此以后就再也不能握笔写字了。

    但是，科学总是不依靠人的意志而改变，而是按它自身规律向前发展的。那些勇于保卫科学真理的数学家们经过数年刻苦艰难的探索，终于使0这个数字冲破种种阻力并得以在全国乃至世界通用了。0这个数的广泛使用甚至超过了其他任何一个数字而具备了更多独特的意义。

    知识点：阿拉伯数字、科学、禁令

    为什么没有最小公约数和最大公倍数

    在数学里我们曾学过最大公约数以及最小公倍数，或许你会提出问题，为什么公约数要讲最大，但公倍数却又讲最小呢?是否有最小公约数和最大公倍数呢?假如有的话，为什么不讲呢?

    我们首先从一个具体情况来看：

    例如有正整数16和24，它们有很多公约数，就是：1、2、4、8，它们的最大公约数是8，最小公约数是1。

    再看正整数15和56，它们都只有一个公约数，就是1。我们从这里能看出，任何两个正整数，总会有公约数1，且1总是它们的最小公约数(公约数总是只讲整数的)。两个或两个以上的数，它们的最小公约数既然总是1，就不必讨论了。这也就是我们不谈最小公约数的道理。但这并不是主要的道理。主要的道理在哪里呢?

    我们学习数学，主要的目的是，必须要数学知识为我们服务，而不只是拿数学知识做游戏。两个正整数的最大公约数，在分数约分里是用得到的。通过约去分子分母的最大公约数，我们就能把一个分数化成最简分数。这样就相当简单了。而最小公约数1，却没有什么用处。这就是我们不研究最小公约数的原因。

    那么，两个正整数是否有最大公倍数呢?例如有两个正整数16和24，它们的最小公倍数是48。显然48乘上任何整数之后依然就是16和24的公倍数。

    例如48×2=96，48×3=144，48×4=192，48×1000=48000等都是16和24的公倍数。由于自然数没有最大的数，因此也就没有最大的公倍数。

    实际上，在分数通分的时候，也只须用到最小公倍数。假如用较大的公倍数，还不方便。既然没有最大公倍数，也不需任何较大的公倍数，这就是我们只研究最小公倍数的原因。

    知识点：公约数、自然数、通分

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